Блог Лимоновой Н.Н.

Тема урока «Обратные тригонометрические функции» (10 класс)

 

Цели урока:

1) систематизировать изученный материал по данной теме;

2) закрепить понятия arcsin, arccos, arctg и arcctg при решении сложных заданий;

3) продолжить целенаправленную подготовку к проведению ЕГЭ;

4) психологически настроить учащихся к тестированию.

 

I. Третий урок по данной теме.

 

Устный счет

 

1) Имеет ли смысл выражение

 

arcsin √2 (нет, т. к. √2>1 )

arccos (√2-1)2 (да, т. к. 0<(√2-1)2 <1)

arccos (-π/3) (нет, т.к. –π<-1)

 

2) Найдите множество значений выражения

 

arcsin a [-π/2; π/2]

arccos a [0; π/2]

arctg a (-π/2;π /2)

 

3) Вычислите, если это возможно

 

accos (-√2/2) 3π/4

arccos ½ π/3

arccos π не существует

arctg √3 π/3

arctg (-√3) -π/3

arcctg (-√3) 5π/6

 

4) Проверка домашнего задания № 22 (стр.93)

 

а) arccos(-1) + arctg √3 = π+ π/3= 4π/3

б) arccos ½ + arcsin1/2 = π/3+π/6= π/2

в) arctg(-1)- arccos√3/2= -π/4-π/6= -5π/12

г) arccos 0 + arctg √3/3= π/2+π/6= 2π/3

 

II. Систематизация:

 

Определение arcsin a

 

Итак, -π/2 <= arcsin a <= π/2

 

Arcsin 1/3, arcsin √3/2, arcsin 0.7 Є [0;π/2]

Arcsin (-1/3), arcsin(-√3/2), arcsin(-0.7) Є [-π/2;0]

 

Рассмотрим функцию у = arcsin х

 

D(y)= [-1;1] , E(y)= [-π/2; π/2]

 

1) sin(arcsin ) =

2) sin(arcsin (- ) )= -

3) sin(arcsin 0,3) = 0, 3

 

 

 

sin(arcsin x) = x для любого x [-1;1]

 

 

arcsin(sin ) = для любого [ ]

 

 

• arcsin(sin ) =

• sin(sin (- )) = -

 

• arcsin(sin ) = arcsin(sin ) ) = arcsin(sin ) =

 

Выводы для функций arccos x, arctg x, arcctg x

 

III. Закрепление нового материала

 

Вычислить ctg(arcsin (-2/3)

 

Первый способ

 

Пусть arcsin(- 2/3) = , [- /2; 0]

sin = - 2/3

 

 

 

 

Формула arcsin x = arcos для любого x

 

и

Второй способ

 

 

IV. Выполнение упражнений учащимися на закрепление.

 

1) 2√5 сtg (arcsin T).

 

Пусть arcsin T = α

Так как arcsin T є [0;π/2], то cos α>0 =>

2√5 сtg α = 2√5 cos α/sin α= 2√5 (√1-4/9)/(2/3)=3√5ј√5/3=5

 

2) sin (2 arccos S)

 

Пусть arccos S= α, α є [0;π/2] =>

sin α=+√1- cos2 α= √1- 1/9=(2√2)/3

sin 2 α=2 sin α ј cos α= ј 2 (2√2)/3 ј 1/3= (4√2)/9

 

 

 

V. Построение графиков (домашнее задание)

 

1) Построить график функции

y=sin (arcsin x)=x для любых значений х є [-1;1]

 

Д(у)= [-1;1], E(y)= [-1;1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) y=arcsin(sin x)

 

T=2 π, x, если х є [0;π/2]

На [0; π] y=

π-x, если x є [π/2; π],так как при x є [π/2; π]:

 

y=arcsin (sin x) = arcsin (sin(π-x)) = π-x,

ибо при π/2<=х<= π

- π<=-х<= - π/2

0<= π-х <= π/2, то есть можно применить формулу

С учётом Т и нечётности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VI Тесты(А и В)

на 2 варианта

Ключи к ответам:

I вариант – Задание А - 3 3 1, Задание В – 0 1

II вариант - Задание А - 4 3 2, Задание В – 0 2

 

VII .Дополнительно: разобрать уравнение:

 

 

Решение:

для любого

, т. е. левая часть

Правая часть

Тогда уравнение имеет решение, если

и

Решим уравнение

 

 

Подставим полученные значения в уравнение

При х = - 2

При х = 1

Ответ: х = 2

VIII. Итоги урока

Домашнее задание

1. № 131 – стр. 66

2. Доказать равенство для любого

3. Построить график функции

(Подсказка – учесть наибольшее и наименьшее значения функции )

Приложение к уроку:

Задания к тесту «Обратные тригонометрические функции»

 

Вариант 1

Задание А1

Вычислить arcsin (-1/2)

1) –π/3 2) π/6 3) -π/6 4) 5π/6

……………………………………………………………………………………….

Задание А2

Какое из выражений не имеет смысла?

1) arctg √3 2) arcctg √3 3) arcsin π/3 4) arccos π/4

……………………………………………………………………………………….

Задание А3

Вычислите arcctg (-1)

1) 3π/4 2) -π/4 3) π/4 4) π/3

……………………………………………………………………………………….

Задание В1

Вычислите 2 arcsin √3/2 + arctg 1 + arccos (-√2/2) - 5π/3

……………………………………………………………………………………….

Задание В2

Вычислите Sin (2arcsin 4/5)+ 1/25

 

 

__________________________________________________________________

 

Вариант 2

Задание А1

Вычислите arccos (-1/2)

1) π/3 2) -π/3 3) -π/6 4.2π/3

………………………………………………………………………………………

Задание А2

Какое из выражений не имеет смысла?

1) arctg π/4 2) arccos √2/3 3) arccos π/2 4) arccos π/8

……………………………………………………………………………………….

Задание А3

Вычислите arctg (-1)

1) 3π/4 2) –π/4 3) π/2 4) π/6

……………………………………………………………………………………….

Задание В 1

Вычислите

3 arccos √3/2+ arcctg (-1) + arcsin√3/2 - 19π/12

……………………………………………………………………………………….

Задание В 2

Вычислите

Cos (2 arcsin 3/5) + 43/25